Probabilità e statistica Scienze forensi

La matematica del crimine

Dicembre 1, 2020 diFabrizio Radaelli 22.876 commenti

Un reato. Ipotesi dell’accusa e ipotesi della difesa. Fatti, evidenze, testimonianze e probabilità.

Se dovessi rispondere alla domanda “qual è il compito della statistica forense?” la mia risposta sarebbe: “associare delle probabilità a ipotesi in merito a chi sia il colpevole di un crimine”.

Il caso

Dante il periodo di lockdown causato dal Covid-19, in un paese  di una piccola isola nel Sud-Ovest della Sardegna (Carloforte, 6128 abitanti) viene commesso un omicidio. Poiché sono in essere delle limitazioni sugli spostamenti e il comune si trova su una piccola isola, gli investigatori escludono che l’autore del crimine provenga da altri paesi, riducendo la lista dei sospettati a 6127 persone (non 6128, poiché uno degli abitanti è stato assassinato).

A poco a poco che le investigazioni procedono, emergono ulteriori dettagli: viene rinvenuta una traccia di sangue sulla scena del crimine, probabilmente lasciata dall’assassino.
L’analisi del DNA evidenzia conferma che la traccia non appartiene alla vittima e chi l’ha lasciata soffre di anemia falciforme.
La vittima, invece, risulta essere portatrice sana di anemia falciforme.

Purtroppo in Italia non esiste uno screening neonatale per l’anemia falciforme. I dati a disposizione indicano, a livello Italiano, un’incidenza del gene HbS (che, come vedremo fra poco, è responsabile della patologia) del 2% nelle zone meridionali, con picchi fino al 13%. Per questo caso possiamo ipotizzare che il comune di Carloforte non sia una zona di “picco” e, dunque, l’incidenza stimata del gene HbS è del 2%.

Ulteriori testimonianze portano a indicare il figlio della vittima come colpevole. Inoltre, l’unico altro parente residente nel comune è il cugino della vittima (l’importanza di questo dato emergerà più avanti).

Qualche dettaglio in più sulle prove a disposizione

L’anemia falciforme è una malattia genetica ed ereditaria del sangue. I globuli rossi di una persona affetta da questo tipo di anemia diventano rigidi, viscosi e facilmente aggregabili. Ma, soprattutto, la loro forma cambia assumendo quella tipica a mezzaluna.
A causa di queste caratteristiche, il flusso dei globuli nel sangue è rallentato e ostacolato.

Fig. 1: Due immagini di globuli rossi acquisite a microscopio: a sinistra un caso normale, a destra un caso affetto da anemia falciforme. Credits: Encyclopaedia Britannica

I globuli rossi sono delle vere e proprie cellule, e come tutte le cellule la loro membrana è coperta di proteine. Una di queste, l’emoglobina, consente ai globuli rossi di “catturare” ossigeno e di trasportarlo.
La mutazione di un gene che controlla la produzione di emoglobina causa l’insorgere dell’anemia falciforme. La patologia è a eredità autosomica recessiva, vale a dire che per la trasmissione al figlio è necessario che entrambi i genitori siano portatori (sani o malati) della malattia.

In genetica si locus genico la posizione di un gene all’interno di un cromosoma. Gli alleli, invece, sono le divere forme che un gene può assumere. Di conseguenza, un locus diallelico identifica una posizione all’interno del cromosoma in cui un gene può essere presente in due forme.
Questo è proprio il caso del gene Hb che è responsabile della sintesi dell’emoglobina. Questo gene può essere presente nella forma HbA (emoglobina normale) o HbS (emoglobina falciforme).
In realtà esistono altre forme del gene Hb, ma per semplicità non le consideriamo.

Quando si parla di incidenza del gene HbS si intende il numero totale geni HbS presenti in una popolazione, rispetto al numero totale di geni, sia HbA sia HbS, presenti nella stessa popolazione.
Questo valore non indica il numero di malati! Una persona, per essere malata, deve mostrare il gene HbS su entrambi i cromosmi.

Il ruolo della statistica nella risoluzione del caso

Le attività degli investigatori portano alla formulazione di quella che in gergo tecnico viene chiamata ipotesi dell’accusa: “il colpevole dell’omicidio è il figlio della vittima”.
All’ipotesi dell’accusa si contrappone l’ipotesi della difesa: “il colpevole dell’omicidio è un’altra persona residente nel comune”.

Un giudice chiamato ad esprimersi in meritò alla presunta colpevolezza del figlio prenderà la sua decisione effettuando una valutazione quantitativa e oggettiva della probabilità che si verifichino contemporaneamente l’ipotesi dell’accusa e un numero finito di eventi di cui si ha evidenza.
Contrariamente al senso comune, il giudizio del giudice si baserà (anche) su dei numeri.

Ipotesi ed eventi

Possono essere formulate tre ipotesi diverse:

IpotesiSimbolo
Il colpevole dell’omicidio è il figlio della vittimaHA
Il colpevole dell’omicidio è il cugino della vittimaH0
Il colpevole dell’omicidio è un altro abitante del paeseH1

Per i calcoli delle probabilità devono essere considerate anche i seguenti eventi:

EventiSimbolo
Viene trovata una traccia genetica indicante “anemia falciforme” attribuibile al colpevoleE0
La vittima era portatrice sana di “anemia falciforme”E1

Formulazione del problema

L’obiettivo è quello di calcolare la probabilità che si verifichi l’ipotesi HA contemporaneamente agli eventi E0 ed E1 . Il calcolo di questa probabilità può essere semplificato utilizzando alcuni teoremi della statistica (come il Teorema di Bayes o quello delle probabilità congiunte):

(1)   \[ P(H_A \cap E_0 \cap E_1 \cap I) = \frac{1}{1 + \sum_i \frac{P(E_0 \cap E_1 \cap I | H_i)P(H_i)}{P(E_0 \cap E_1 \cap I | H_A)P(H_A)}} \]

dove Hi sono tutte le ipotesi alternative all’ipotesi dell’accusa. Il termine I, invece, rappresenta gli eventi di cui non è stata osservata alcuna evidenza.

In questo articolo è possibile approfondire come sia possibile arrivare a formulare l’equazione (1).

Analisi della formula

Per calcolare la probabilità bisogna analizzare un termine alla volta.

Il primo termine

(2)   \[ P(E_0 \cap E_1 \cap I | H_A)P(H_A) \]

Di questo prodotto, il primo termine rappresenta la probabilità che si trovi una traccia genetica indicante “anemia falciforme” attribuibile al colpevole e che la vittima era portatrice sana di “anemia falciforme”, sapendo che il colpevole è il figlio della vittima. Il calcolo numerico di questo termine presenta alcune complicazioni.
Bisogna considerare l’evento (non osservato) “il figlio è malato di anemia falciforme”. Detto EF questo evento:

(3)   \[ P(E_0 \cap E_1 \cap I | H_A)=P(E_0 \cap E_1 \cap E_F | H_A)= \]

    \[= P(E_0 | E_1 \cap E_F \cap H_A)P(E_F | E_1 \cap H_A)P(E_1 | H_A) \]

Il secondo termine del prodotto in (2), invece, rappresenta la probabilità che il colpevole sia il figlio della vittima. Senza conoscenze ulteriori, la probabilità di colpevolezza del figlio è identica a quella delle altre persone. Se la lista dei sospettati conta 6127 persone, la probabilità di colpevolezza di ciascuno di essi è 1/6127.

Non sono laureato in scienze forensi, non ho mai lavorato in questo campo ma ho avuto modo di studiare e approfondire la statistica forense. Sicuramente il testo aveva molte imprecisioni ma spero di essere riuscito nel mio intento: trasmettere un’idea di quello che è il ruolo della matematica (sotto forma di probabilità e statistica) nel campo delle scienze forensi. Non avevo certamente l’ambizione di spiegare come vengono condotte indagini forensi.

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